تصوير البيانات باستخدام t-SNE

يبحث تحليل المكونات الرئيسية عن المحاور التي يتركّز عليها أكبر قدر من التباين ويُسقط البيانات عليها. هذا يعمل جيداً حين تكون البيانات موزّعة على سطح مستوٍ، لكنّ البيانات الواقعية في الغالب تنتشر على أسطح منحنية ومطوية — ما نسمّيه متشعّبات — مغمورة داخل فضاء عالي الأبعاد. لتوضيح الفكرة، تخيّل اللفافة السويسرية: البيانات في حقيقتها ثنائية البُعد (الموضع على طول اللفّة والارتفاع)، لكنّ تحليل المكونات الرئيسية يراها كفطيرة مسطحة فيُلصق نقاطاً متباعدة على السطح الأصلي بعضها فوق بعض.

الأساليب اللاخطية الأقدم مثل تعيين سامون وIsomap قدّمت تحسينات على تحليل المكونات الرئيسية، لكنها ظلّت تعاني من صعوبة الحفاظ على البنية المحلية والشاملة في الوقت ذاته. ما كان مطلوباً هو أسلوب يجعل جوار النقاط في الأبعاد المنخفضة يتطابق مع جوارها في الأبعاد العالية — حتى لو اضطرت المسافات الكبرى إلى التشوّه.

ينطلق t-SNE من سؤال بسيط: لكل نقطة $x_i$ في الفضاء عالي الأبعاد، ما احتمال أن تختار هذه النقطة $x_j$ جاراً لها؟ يُحسب هذا الاحتمال عبر دالة غاوسية مركزها $x_i$، بحيث تحصل النقاط القريبة على احتمال مرتفع، بينما تقترب النقاط البعيدة من الصفر. لكل نقطة عرض نطاق غاوسي $\sigma_i$ خاص بها يُضبط تلقائياً من خلال مُعامل الحيرة الاحتمالية (سنوضّحه بالتفصيل لاحقاً).

ثم يطرح t-SNE السؤال نفسه في الخريطة ثنائية البُعد: لكل نقطة $y_i$ في الفضاء المنخفض، ما احتمال أن تختار $y_j$ جاراً لها؟ لكن هنا تُستخدم نواة مختلفة: توزيع ستيودنت-t بدرجة حرية واحدة (وهو ما يُعرف بتوزيع كوشي) — منحنى جرسي لكن بأذيال أثقل بكثير من الدالة الغاوسية.

هدف الخوارزمية واضح: اضبط مواضع النقاط في البُعدين حتى تتطابق احتمالات الجوار فيهما مع احتمالات الجوار في الأبعاد العالية. يُقاس الفرق بين التوزيعين عبر تباعد كولباك-لايبلر، وتُحسَّن المواضع بـالانحدار التدريجي.

الخطوة الأولى هي تحويل كل مسافة إقليدية بين زوج من النقاط في الفضاء الأصلي إلى احتمال شرطي. الفكرة ببساطة: لو أن النقطة $x_i$ ستختار جاراً لها باحتمال يتناسب مع دالة غاوسية مركزها هي نفسها، فما فرصة أن تقع على $x_j$؟

لجعل الاحتمالات متناظرة ($p_{ij} = p_{ji}$)، يأخذ t-SNE المتوسط بين الاحتمالين الشرطيين: $p_{ij} = (p_{j|i} + p_{i|j}) / 2n$. الفائدة من ذلك أنّ كل نقطة تُسهم إسهاماً حقيقياً في الخريطة، حتى لو كانت نقطة شاذة معزولة عن الباقي.

أما في الخريطة ثنائية البُعد، فيُحسب التشابه بين النقطتين المناظرتين $y_i$ و$y_j$ عبر توزيع ستيودنت-t بدرجة حرية واحدة بدلاً من الدالة الغاوسية. الذيل الثقيل لهذا التوزيع هو لبّ الابتكار — فهو يمنح النقاط ذات البُعد المتوسط مساحة كافية على الخريطة، وبذلك يحلّ مشكلة الازدحام.

الهدف من t-SNE أن تعكس بنية الجوار في البُعدين ما هو موجود في الأبعاد العالية. لقياس الفرق يستخدم تباعد كولباك-لايبلر — وهو مقياس أحادي الاتجاه يُخبرك بمدى اختلاف توزيعين احتماليين عن بعضهما. الهدف مباشر: اجعل التوزيع Q (الذي يصف جوار النقاط في البُعدين) أقرب ما يمكن إلى التوزيع P (الذي يصف جوارها في الأبعاد العالية).

يُختار عرض النطاق الغاوسي $\sigma_i$ لكل نقطة بحيث يكون لـتوزيعها الاحتمالي حيرة احتمالية ثابتة — وهي تعبّر تقريباً عن عدد الجيران الفعّالين الذين تراهم كل نقطة. حين تكون الحيرة منخفضة (5–10)، لا تهتم كل نقطة إلا بأقرب جيرانها، فتنتج عناقيد محلية ضيقة. وحين تكون مرتفعة (30–50)، تأخذ النقطة جيراناً أكثر بالحسبان، فتنتج خرائط أكثر انسيابية وتنظيماً على المستوى الشامل.

القيمة الافتراضية الشائعة هي 30. لكنّ الحيرة ليست مُعاملاً تضبطه وتنسى، بل هي تتحكّم في مستوى التفاصيل الذي تراه. من الممارسات الجيدة تشغيل t-SNE بعدة قيم للحيرة حتى تميّز البنية الحقيقية من النتائج المُصطنعة.

لفهم مشكلة الازدحام، تأمّل 11 نقطة متساوية الأبعاد على سطح كرة في 10 أبعاد. في عشرة أبعاد يتوفّر مكان واسع لتكون كل هذه النقاط بعيدة عن المركز. لكن في بُعدين لا يوجد حول المركز إلا حلقة رفيعة — أي أن المواضع «متوسطة البُعد» المتاحة أقل بكثير. لو استخدمنا نواة غاوسية في البُعدين (كما كانت تفعل خوارزمية SNE الأصلية)، فإن تلك النقاط تنسحق نحو المركز ويتحوّل كل شيء إلى كتلة واحدة بلا ملامح.

توزيع ستيودنت-t يحلّ هذه المشكلة بتوسيع نطاق «المسافة المقبولة» في البُعدين. نقطة متشابهة بدرجة متوسطة في الأبعاد العالية يمكنها أن تجلس بمسافة مريحة من نظيرتها في البُعدين دون أن تدفع الخوارزمية كلفة KL كبيرة، لأنّ قيمة $q_{ij}$ تبقى معقولة حتى عند تلك المسافة. هذه هي الإضافة الجوهرية لـ t-SNE على سلفه SNE.

مُتّجه الميل لدالة كلفة KL بالنسبة لكل نقطة $y_i$ على الخريطة يحمل تفسيراً فيزيائياً أنيقاً. كل زوج من النقاط يُمارس «قوة» على الآخر: إذا كان $p_{ij} > q_{ij}$ (أي أنّ النقطتين يجب أن تكونا أقرب مما هما عليه)، يظهر نابض جذب يشدّهما نحو بعضهما. وإذا كان $p_{ij} < q_{ij}$ (أي أنهما أقرب مما ينبغي)، تظهر قوة تنافر تدفعهما بعيداً. العامل $(1 + \|y_i - y_j\|^2)^{-1}$ يجعل النقاط القريبة تُمارس تأثيراً أقوى بكثير، بينما تُهمل النقاط البعيدة تقريباً.

t-SNE أداة قوية، لكنّ مخرجاتها قد تكون مُضلّلة إن لم تعرف ما يمكن الوثوق به. إليك القواعد التي يتّبعها الممارسون ذوو الخبرة:

• انتماء النقاط إلى العنقود له معنى حقيقي — النقاط في العنقود نفسه قريبة فعلاً من بعضها في الفضاء الأصلي.
• المسافات بين العناقيد ليست ذات معنى — عنقودان قد يبدوان متباعدين في الرسم لكنهما قريبان في الفضاء الأصلي، أو العكس.
• أحجام العناقيد ليست ذات معنى — t-SNE قد يُضخّم عنقوداً أو يُقلّصه تبعاً للكثافة المحلية للبيانات.
• شغّله عدة مرات — t-SNE يبدأ بتهيئة عشوائية، وكل تشغيل قد يُنتج تخطيطاً مختلفاً. البنية الحقيقية هي التي تظهر باتساق عبر تشغيلات متعددة.
• جرّب عدة قيم للحيرة — بنية لا تظهر إلا عند قيمة حيرة واحدة قد تكون نتيجة مُصطنعة.

فيما يلي الخوارزمية الكاملة موضّحة كسلسلة مراحل. لاحظ أنّ احتمالات الأبعاد العالية $P$ تُحسب مرة واحدة في البداية، بينما تُعاد حساب احتمالات الأبعاد المنخفضة $Q$ في كل تكرار لأنّ نقاط الخريطة $y_i$ تتحرّك باستمرار.

UMAP (2018) يبني على الفكرة الأساسية لـ t-SNE — أي تحسين دالة كلفة قائمة على الجوار — لكنه يستخدم إطاراً رياضياً مختلفاً يعتمد على المجموعات التبسيطية الضبابية من التحليل الطوبولوجي للبيانات. أهم الفروقات:

• السرعة: UMAP أسرع بكثير، خاصة مع مجموعات البيانات الكبيرة، لأنه يستخدم الجار الأقرب التقريبي والانحدار التدريجي العشوائي.
• البنية الشاملة: UMAP يحافظ بشكل أفضل على العلاقات الشاملة بين العناقيد — المواضع النسبية للعناقيد تحمل دلالة أكبر.
• تضمين بيانات جديدة: UMAP يستطيع تضمين نقاط بيانات جديدة لم يرها من قبل عبر تحويل مُتعلَّم، بينما يتطلب t-SNE إعادة تشغيل الأمثَلة بالكامل.
• الاتساق: UMAP يُنتج نتائج أكثر ثباتاً عند تغيير البذرة العشوائية.

كلاهما أداة قيّمة. يظلّ t-SNE الخيار المفضّل حين تكون جودة العناقيد المحلية هي الأولوية وحجم البيانات معقولاً. أما UMAP فيتفوّق في السرعة والقدرة على التعامل مع بيانات ضخمة وحين تهمّ البنية الشاملة.

إرث t-SNE لا يقتصر على كونه خوارزمية تصوير — بل أرسى مبدأ أنّ الأمثَلة الاحتمالية القائمة على الجوار تستطيع الكشف عن بنى خفية لا تقدر الأساليب الخطية على إظهارها. في كل مرة ترى رسماً انتشارياً مُلوّناً لـتضمينات أو أنواع خلايا أو تنشيطات نماذج، فالأرجح أنك تنظر إلى نتاج فكري انبثق من t-SNE.